微分積分例

$\int - 7 x e^{4 x - 2} d x$

ステップ 1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $- 7$ を積分の外に移動させます。

$- 7 \int x e^{4 x - 2} d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = e^{4 x - 2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x - 2}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x - 2}$ をまとめます。

$- 7 (x \frac{e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

ステップ 3.2

$x$ と $\frac{e^{4 x - 2}}{4}$ をまとめます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

ステップ 3.3

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x - 2}$ をまとめます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{e^{4 x - 2}}{4} d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x - 2} d x))$

ステップ 5

$u = 4 x - 2$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 4 x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$4 x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $4 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 5.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

ステップ 8.2

$4$ に $4$ をかけます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ を $- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$- 7 (\frac{x}{4} e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 10.2.2

$\frac{x}{4}$ と $e^{4 x - 2}$ をまとめます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 10.2.3

$- \frac{1}{16} e^{u}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot \frac{4}{4}) + C$

ステップ 10.2.4

$- \frac{1}{16} e^{u}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} + \frac{- \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4}) + C$

ステップ 10.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4} + C$

ステップ 10.2.6

$e^{u}$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{16} \cdot 4}{4} + C$

ステップ 10.2.7

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - 4 \frac{e^{u}}{16}}{4} + C$

ステップ 10.2.8

$- 4$ と $\frac{e^{u}}{16}$ をまとめます。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- 4 e^{u}}{16}}{4} + C$

ステップ 10.2.9

$- 4$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.9.1

$4$ を $- 4 e^{u}$ で因数分解します。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{16}}{4} + C$

ステップ 10.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.9.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 (4)}}{4} + C$

ステップ 10.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 \cdot 4}}{4} + C$

ステップ 10.2.9.2.3

式を書き換えます。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- e^{u}}{4}}{4} + C$

ステップ 10.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

ステップ 10.2.11

$x e^{4 x - 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

ステップ 10.2.12

$x e^{4 x - 2}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

ステップ 10.2.13

公分母の分子をまとめます。

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4 - e^{u}}{4}}{4} + C$

ステップ 10.2.14

$4$ を $x e^{4 x - 2}$ の左に移動させます。

$- 7 \frac{\frac{4 \cdot (x e^{4 x - 2}) - e^{u}}{4}}{4} + C$

ステップ 10.2.15

$\frac{\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}}{4}$ を積として書き換えます。

$- 7 (\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4} \cdot \frac{1}{4}) + C$

ステップ 10.2.16

$\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4 \cdot 4} + C$

ステップ 10.2.17

$4$ に $4$ をかけます。

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16} + C$

ステップ 10.2.18

$- 7$ と $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16}$ をまとめます。

$\frac{- 7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

ステップ 10.2.19

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $4 x - 2$ で置き換えます。

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2})}{16} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$- \frac{7}{16} (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2}) + C$

微分積分 例

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