微分積分例

$\int \frac{{(1 + 3 x)}^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(1 + 3 x)}^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 1.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(1 + 3 x)}^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

ステップ 1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{\frac{- 1}{3}} d x$

ステップ 1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{- \frac{1}{3}} d x$

ステップ 2

$u_{1} = 1 + 3 x$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u_{1} = 1 + 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$1 + 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $1 + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 \cdot 1$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$0 + 3$

ステップ 2.1.4

$0$ と $3$ をたし算します。

$3$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{3}$ と ${u_{1}}^{2}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}} d u_{1}$

ステップ 3.2

$\frac{{u_{1}}^{2}}{3}$ と ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} d u_{1}$

ステップ 3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{1}}^{2}}{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

ステップ 5

$u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ すると、 $3 d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $\frac{u_{1}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

ステップ 5.1.3.3

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$- \frac{1}{3}$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $- \frac{1}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} + 0$

ステップ 5.1.4.2

$\frac{1}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3}$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{3}$ で割ります。

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} (1 \cdot 3) d u_{2}$

ステップ 6.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot 3 d u_{2}$

ステップ 6.3

$\frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

ステップ 6.4

$3$ を ${(3 u_{2} + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{3 {(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

ステップ 7

$3$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (3 \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2})$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

ステップ 8.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

ステップ 8.1.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

ステップ 8.1.3

$\int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

ステップ 8.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.2.1

${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {({u_{2}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 8.2.2

${({u_{2}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 8.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{\frac{- 1}{3}} d u_{2}$

ステップ 8.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

${(3 u_{2} + 1)}^{2}$ を $(3 u_{2} + 1) (3 u_{2} + 1)$ に書き換えます。

$\int (3 u_{2} + 1) (3 u_{2} + 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\int (3 u_{2} (3 u_{2} + 1) + 1 (3 u_{2} + 1)) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.3

分配則を当てはめます。

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot 1 + 1 (3 u_{2} + 1)) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.4

分配則を当てはめます。

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot 1 + 1 (3 u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.5

分配則を当てはめます。

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + (1 (3 u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.6

分配則を当てはめます。

$\int 3 u_{2} (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + (1 (3 u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.7

分配則を当てはめます。

$\int 3 u_{2} (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.8

$u_{2}$ を移動させます。

$\int 3 \cdot 3 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.9

$u_{2}$ を移動させます。

$\int 3 \cdot 3 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.10

$3$ に $3$ をかけます。

$\int 9 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.11

$u_{2}$ を $1$ 乗します。

$\int 9 ({u_{2}}^{1} u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.12

$u_{2}$ を $1$ 乗します。

$\int 9 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 9 {u_{2}}^{1 + 1} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 9 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 9 {u_{2}}^{2 - \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.16

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\int 9 {u_{2}}^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.17

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.18

公分母の分子をまとめます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.19

分子を簡約します。

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ステップ 9.19.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{6 - 1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.19.2

$6$ から $1$ を引きます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.20

$3$ に $1$ をかけます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.21

$u_{2}$ を $1$ 乗します。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}}) + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.23

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.24

公分母の分子をまとめます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3 - 1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.25

$3$ から $1$ を引きます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.26

$3$ に $1$ をかけます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.27

$u_{2}$ を $1$ 乗します。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}}) + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.28

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.29

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.30

公分母の分子をまとめます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3 - 1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.31

$3$ から $1$ を引きます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.32

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.33

${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 9.34

$3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ と $3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ をたし算します。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} d u_{2} + \int 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 11

$9$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int {u_{2}}^{\frac{5}{3}} d u_{2} + \int 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 12

べき乗則では、 ${u_{2}}^{\frac{5}{3}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}}$ です。

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + \int 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 13

$6$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + 6 \int {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 14

べき乗則では、 ${u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}}$ です。

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + 6 (\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 15

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ です。

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + 6 (\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + C) + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

簡約します。

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ステップ 16.1.1

$\frac{3}{8}$ と ${u_{2}}^{\frac{8}{3}}$ をまとめます。

$9 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + 6 (\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + C) + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 16.1.2

$\frac{3}{5}$ と ${u_{2}}^{\frac{5}{3}}$ をまとめます。

$9 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + 6 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{5}{3}}}{5} + C) + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 16.2

簡約します。

$\frac{27 {u_{2}}^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 17.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ で置き換えます。

$\frac{27 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{18 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3}{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 17.2

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + 3 x$ で置き換えます。

$\frac{27 {(\frac{1 + 3 x}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{18 {(\frac{1 + 3 x}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3}{2} {(\frac{1 + 3 x}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 18

項を並べ替えます。

$\frac{27}{8} {(\frac{1}{3} (1 + 3 x) - \frac{1}{3})}^{\frac{8}{3}} + \frac{18}{5} {(\frac{1}{3} (1 + 3 x) - \frac{1}{3})}^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2} {(\frac{1}{3} (1 + 3 x) - \frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例