微分積分例

$- \int t \ln (t) d t$

ステップ 1

$u = \ln (t)$ と $d v = t$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- (\ln (t) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$- (\ln (t) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

ステップ 2.2

$\ln (t)$ と $\frac{t^{2}}{2}$ をまとめます。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{1}{t} d t)$

ステップ 2.4

$\frac{t^{2}}{2}$ に $\frac{1}{t}$ をかけます。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t^{2}}{2 t} d t)$

ステップ 2.5

$t^{2}$ と $t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{2 t} d t)$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1

$t$ を $2 t$ で因数分解します。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 2} d t)$

ステップ 2.5.2.2

共通因数を約分します。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 2} d t)$

ステップ 2.5.2.3

式を書き換えます。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t}{2} d t)$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t d t))$

ステップ 4

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C))$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C))$

ステップ 5.2

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C))$ を $- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) + C$ に書き換えます。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) + C$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$- (\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{4} t^{2}) + C$

微分積分 例

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