微分積分例

$\int \sin (9 t) + \sin (2 t) d t$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sin (9 t) d t + \int \sin (2 t) d t$

ステップ 2

$u_{1} = 9 t$ とします。次に $d u_{1} = 9 d t$ すると、 $\frac{1}{9} d u_{1} = d t$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 9 t$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$9 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [9 t]$

ステップ 2.1.2

$9$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $9 t$ の微分係数は $9 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$9 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$9$ に $1$ をかけます。

$9$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

ステップ 3

$\sin (u_{1})$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin (u_{1})}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

ステップ 4

$\frac{1}{9}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

ステップ 5

$\sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $- \cos (u_{1})$ です。

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (2 t) d t$

ステップ 6

$u_{2} = 2 t$ とします。次に $d u_{2} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 6.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7

$\sin (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 9

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2}) + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2})) + C$

ステップ 10.2

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u_{2})$ をまとめます。

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $9 t$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

ステップ 11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (2 t)}{2} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{9} \cos (9 t) - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C$

微分積分 例

微分積分例