微分積分例

$\int_{\ln (27)}^{\ln (216)} e^{\frac{x}{3}} d x$

ステップ 1

$u = \frac{x}{3}$ とします。次に $d u = \frac{1}{3} d x$ すると、 $3 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{x}{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{x}{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 1.2

$u = \frac{x}{3}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{\ln (27)}{3}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\ln (27)$ を $\ln (3^{3})$ に書き換えます。

$u_{lower} = \frac{\ln (3^{3})}{3}$

ステップ 1.3.2

$3$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{3})$ を展開します。

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

ステップ 1.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

ステップ 1.3.3.2

$\ln (3)$ を $1$ で割ります。

$u_{lower} = \ln (3)$

ステップ 1.4

$u = \frac{x}{3}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{\ln (216)}{3}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{\ln (216)}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (216)$ に書き換えます。

$u_{upper} = \frac{1}{3} \ln (216)$

ステップ 1.5.2

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (216)$ を簡約します。

$u_{upper} = \ln (216^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.5.3

$216$ を $6^{3}$ に書き換えます。

$u_{upper} = \ln ({(6^{3})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.5.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

ステップ 1.5.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

ステップ 1.5.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = \ln (6^{1})$

ステップ 1.5.6

指数を求めます。

$u_{upper} = \ln (6)$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \ln (3)$

$u_{upper} = \ln (6)$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{3}$ で割ります。

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} (1 \cdot 3) d u$

ステップ 2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \cdot 3 d u$

ステップ 2.3

$3$ を $e^{u}$ の左に移動させます。

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} 3 e^{u} d u$

ステップ 3

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} d u$

ステップ 4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$3 (e^{u}]_{\ln (3)}^{\ln (6)})$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\ln (6)$ および $\ln (3)$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$3 ((e^{\ln (6)}) - e^{\ln (3)})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$3 (6 - e^{\ln (3)})$

ステップ 5.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$3 (6 - 1 \cdot 3)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 (6 - 3)$

ステップ 5.2.4

$6$ から $3$ を引きます。

$3 \cdot 3$

ステップ 5.2.5

$3$ に $3$ をかけます。

$9$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例