微分積分例

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $9 x^{2}$ を足します。

$x^{2} y^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

ステップ 1.2

$y^{2}$ を $x^{2} y^{2} - 4 y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$y^{2}$ を $x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} x^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

ステップ 1.2.2

$y^{2}$ を $- 4 y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4 = 9 x^{2}$

ステップ 1.2.3

$y^{2}$ を $y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4$ で因数分解します。

$y^{2} (x^{2} - 4) = 9 x^{2}$

ステップ 1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 9 x^{2}$

ステップ 1.4

因数分解。

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ステップ 1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$y^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 9 x^{2}$

ステップ 1.4.2

不要な括弧を削除します。

$y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$

ステップ 1.5

$y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ の各項を $(x + 2) (x - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.1

$y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ の各項を $(x + 2) (x - 2)$ で割ります。

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.5.2.2

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.5.2.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$

ステップ 1.7

$\pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$\sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ を $\frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

ステップ 1.7.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.2.1

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

ステップ 1.7.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

ステップ 1.7.3

$\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ に $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

ステップ 1.7.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

$\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ に $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

ステップ 1.7.4.2

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

ステップ 1.7.4.3

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}$

ステップ 1.7.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.7.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}$

ステップ 1.7.4.6

${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ を $(x + 2) (x - 2)$ に書き換えます。

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ステップ 1.7.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ を ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.7.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.7.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.7.4.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}$

ステップ 1.7.4.6.5

簡約します。

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.8

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.8.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.8.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.5

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.6

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.3.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 3.2.4

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 y^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.4.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

ステップ 3.2.4.4

$2$ に $- 4$ をかけます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

ステップ 3.2.5

項を並べ替えます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

ステップ 3.3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.5.1.1

方程式の両辺から $2 y^{2} x$ を引きます。

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

ステップ 3.5.1.2

方程式の両辺に $18 x$ を足します。

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

ステップ 3.5.2

$2 y y'$ を $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$2 y y'$ を $2 x^{2} y y'$ で因数分解します。

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

ステップ 3.5.2.2

$2 y y'$ を $- 8 y y'$ で因数分解します。

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

ステップ 3.5.2.3

$2 y y'$ を $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ で因数分解します。

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

ステップ 3.5.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

ステップ 3.5.4

因数分解。

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ステップ 3.5.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

ステップ 3.5.4.2

不要な括弧を削除します。

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

ステップ 3.5.5

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ の各項を $2 y (x + 2) (x - 2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ の各項を $2 y (x + 2) (x - 2)$ で割ります。

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.2.3

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.2.4

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.2.4.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.3.1.1.1

$2$ を $- 2 y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.3.1.1.2.1

$2$ を $2 y (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3.1.2

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.3.1.2.1

$y$ を $- y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.3.1.2.2.1

$y$ を $(y (x + 2)) (x - 2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3.1.4

$18$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.3.1.4.1

$2$ を $18 x$ で因数分解します。

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.5.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.3.1.4.2.1

$2$ を $2 y (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

ステップ 3.5.5.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

ステップ 3.5.5.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$

ステップ 4.1.2

Since $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

$(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ の最小公倍数を求めるステップ：

1. 数値部分 $1, 1, 1$ の最小公倍数を求めます。

2. 変数部分 $y^{1}$ の最小公倍数を求めます。

3. 複合変数部分 $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ の最小公倍数を求めます。

4. 各最小公倍数をかけます。

ステップ 4.1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 4.1.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 4.1.5

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 4.1.6

$y^{1}$ の因数は $y$ そのものです。

$y^{1} = y$

$y$ は $1$ 回発生します。

ステップ 4.1.7

$y^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$y$

ステップ 4.1.8

$x + 2$ の因数は $x + 2$ そのものです。

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 4.1.9

$x - 2$ の因数は $x - 2$ そのものです。

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 4.1.10

$x + 2$ の因数は $x + 2$ そのものです。

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 4.1.11

$x - 2$ の因数は $x - 2$ そのものです。

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 4.1.12

$x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(x + 2) (x - 2)$

ステップ 4.1.13

ある数の最小公倍数 $LCM$ はその数が因数分解された最小の数です。

$y (x + 2) (x - 2)$

ステップ 4.2

$- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ の各項に $y (x + 2) (x - 2)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ の各項に $y (x + 2) (x - 2)$ を掛けます。

$- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$(x + 2) (x - 2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

$- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$(x + 2) (x - 2)$ を $y (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (y)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- y x y + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2.1.2

$y$ を $1$ 乗します。

$- 1 x (y^{1} y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2.1.3

$y$ を $1$ 乗します。

$- 1 x (y^{1} y^{1}) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 1 x y^{1 + 1} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 1 x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2.1.6

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2.1.7

$y (x + 2) (x - 2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.7.1

共通因数を約分します。

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.2.1.7.2

式を書き換えます。

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + y \cdot 2) (x - 2))$

ステップ 4.2.3.1.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + 2 \cdot y) (x - 2))$

ステップ 4.2.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y x + 2 y) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x (x - 2) + 2 y (x - 2))$

ステップ 4.2.3.2.2

分配則を当てはめます。

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y (x - 2))$

ステップ 4.2.3.2.3

分配則を当てはめます。

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2)$

ステップ 4.2.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1

$y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.1

$y x \cdot - 2$ と $2 y x$ について因数を並べ替えます。

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x - 2 x y + 2 x y + 2 y \cdot - 2)$

ステップ 4.2.3.3.1.2

$- 2 x y$ と $2 x y$ をたし算します。

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 0 + 2 y \cdot - 2)$

ステップ 4.2.3.3.1.3

$y x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 2 y \cdot - 2)$

ステップ 4.2.3.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.2.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.2.1.1

$x$ を移動させます。

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x \cdot x) + 2 y \cdot - 2)$

ステップ 4.2.3.3.2.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} + 2 y \cdot - 2)$

ステップ 4.2.3.3.2.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} - 4 y)$

ステップ 4.2.3.3.3

$0$ に $y x^{2} - 4 y$ をかけます。

$- x y^{2} + 9 x = 0$

ステップ 4.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x$ を $- x y^{2} + 9 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$x$ を $- x y^{2}$ で因数分解します。

$x (- 1 y^{2}) + 9 x = 0$

ステップ 4.3.1.2

$x$ を $9 x$ で因数分解します。

$x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9 = 0$

ステップ 4.3.1.3

$x$ を $x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9$ で因数分解します。

$x (- 1 y^{2} + 9) = 0$

ステップ 4.3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x (- 1 y^{2} + 3^{2}) = 0$

ステップ 4.3.3

$- 1 y^{2}$ と $3^{2}$ を並べ替えます。

$x (3^{2} - 1 y^{2}) = 0$

ステップ 4.3.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = y$ です。

$x ((3 + y) (3 - y)) = 0$

ステップ 4.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$x (3 + y) (3 - y) = 0$

ステップ 4.3.5

$x (3 + y) (3 - y) = 0$ の各項を $(3 + y) (3 - y)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$x (3 + y) (3 - y) = 0$ の各項を $(3 + y) (3 - y)$ で割ります。

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

ステップ 4.3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

$3 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

ステップ 4.3.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

ステップ 4.3.5.2.2

$3 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

ステップ 4.3.5.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

ステップ 4.3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.1

$0$ を $(3 + y) (3 - y)$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ at $x = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ と $(0) + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$2$ を $3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

ステップ 5.2.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

$2$ を $((0) + 2) ((0) - 2)$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

ステップ 5.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

ステップ 5.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

ステップ 5.2.1.2

$0$ と $(0) - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$2$ を $3 \cdot (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

ステップ 5.2.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.2.1

$2$ を $(0 + 1) ((0) - 2)$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

ステップ 5.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

ステップ 5.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) (0 - 1)}$

ステップ 5.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0 \sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}}{(0 + 1) (0 - 1)}$

ステップ 5.2.2.2

$0$ に $\sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}$ をかけます。

$f (0) = \frac{0}{(0 + 1) (0 - 1)}$

ステップ 5.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$0$ を $- 1 (0)$ に書き換えます。

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}$

ステップ 5.2.3.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}$

ステップ 5.2.3.3

$- 1$ を $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

ステップ 5.2.3.4

$0 - 1$ を $1$ 乗します。

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

ステップ 5.2.3.5

$0 - 1$ を $1$ 乗します。

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

ステップ 5.2.3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}$

ステップ 5.2.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$0$ から $1$ を引きます。

$f (0) = \frac{0}{- 1 {(- 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.4.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 5.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.2.5.2

$0$ を $- 1$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 5.2.6

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 6

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例