微分積分例

$\int \cos (x) \cos (x) d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

ステップ 1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

ステップ 1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2

半角公式を利用して $\cos^{2} (x)$ を $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 6

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 7

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 9

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 12.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 12.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ を掛けます。

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ステップ 12.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 12.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

微分積分 例

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