微分積分例

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \sin (x) + \cos (x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \cos (x) d x$

ステップ 2

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} + \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \cos (x) d x$

ステップ 3

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$ と $\sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$ をまとめます。

$- \cos (x) + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$

ステップ 4.2

$\frac{7 π}{4}$ および $- \frac{π}{4}$ で $- \cos (x) + \sin (x)$ の値を求めます。

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

ステップ 5.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

ステップ 5.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

ステップ 5.1.4

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

ステップ 5.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.5.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

ステップ 5.1.5.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

ステップ 5.1.5.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4}))$

ステップ 5.1.5.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}))$

ステップ 5.1.5.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 5.1.5.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.1.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.1.7

$- \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.1.8

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.8.1

$2$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

ステップ 5.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 5.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

ステップ 5.1.8.2.4

$- \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

ステップ 5.1.9

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

ステップ 5.1.9.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3

$- \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1}$

ステップ 5.4.2.4

$- \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2} - \sqrt{2}$

ステップ 5.5

$\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$0$

微分積分 例

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