微分積分例

$\int 9 x \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int x \sin (2 x) d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = \sin (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$9 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$9 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

ステップ 3.2

$x$ と $\frac{\cos (2 x)}{2}$ をまとめます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

ステップ 3.3

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

ステップ 5.2

$\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ に $1$ をかけます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 7

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 8

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

ステップ 11

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

ステップ 12

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ステップ 12.1

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ を $9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ に書き換えます。

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

ステップ 12.2

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ステップ 12.2.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$9 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

ステップ 12.2.2

$\cos (2 x)$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

ステップ 12.2.3

$\frac{1}{4}$ と $\sin (u)$ をまとめます。

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{\cos (2 x) x}{2}$ の因数を並べ替えます。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

ステップ 14.2

項を並べ替えます。

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$

微分積分 例

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