微分積分例

$\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$

ステップ 1

積分を2つの積分に分割し、 $c$ が $x$ と $x^{2}$ の間の値になるようにます。

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

ステップ 2

総和則では、 $\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$ です。

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

ステップ 3

積分の境界を入れ替えます。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

ステップ 4

微積分学の基本定理を利用して、 $x$ に関する $- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t$ の微分係数を取ります。

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

ステップ 5

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ の微分係数を取ります。

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] e^{{(x^{2})}^{7}}$

ステップ 6

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 6.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{{(x^{2})}^{7}}$

ステップ 6.2

${(x^{2})}^{7}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{2 \cdot 7}}$

ステップ 6.2.2

$2$ に $7$ をかけます。

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{14}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

項を並べ替えます。

$2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$

ステップ 7.2

$2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{14}} - e^{x^{7}}$

微分積分 例

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