微分積分例

$\int_{\sqrt[3]{x}}^{2 π} \cos (t^{3}) d t$

ステップ 1

積分の境界を入れ替えます。

$\frac{d}{d x} [- \int_{2 π}^{\sqrt[3]{x}} \cos (t^{3}) d t]$

ステップ 2

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $- \int_{2 π}^{\sqrt[3]{x}} \cos (t^{3}) d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 9.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

ステップ 10

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3}))$

ステップ 10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{1}{3} \cdot 3}))$

ステップ 10.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{3}{3}}))$

ステップ 10.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{3}{3}}))$

ステップ 10.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{1}))$

ステップ 10.5

簡約します。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x))$

ステップ 11

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$- \frac{\cos (x)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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