微分積分例

$\int_{0}^{3 x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$

ステップ 1

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{0}^{3 x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [3 x] \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}$

ステップ 2.3

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$3 \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$3 \sqrt{1 + {(3 (x))}^{2}}$

ステップ 2.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

積の法則を $3 (x)$ に当てはめます。

$3 \sqrt{1 + 3^{2} x^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$3 \sqrt{1 + 9 x^{2}}$

微分積分 例