微分積分例

$\int \frac{7 x^{2} - 9 x + 54}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 3}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)$ です。

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.4

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.5

$x^{2} + 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.5.2

$7 x^{2} - 9 x + 54$ を $1$ で割ります。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{A ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.6.1.2

$(A) (x^{2} + 9)$ を $1$ で割ります。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.6.3

$9$ を $A$ の左に移動させます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.6.4

$x^{2} + 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.1.6.4.2

$(B x + C) (x - 3)$ を $1$ で割ります。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

ステップ 1.1.6.5

分配法則（FOIL法）を使って $(B x + C) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.5.1

分配則を当てはめます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

ステップ 1.1.6.5.2

分配則を当てはめます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

ステップ 1.1.6.5.3

分配則を当てはめます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

ステップ 1.1.6.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.6.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.6.1.1

$x$ を移動させます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

ステップ 1.1.6.6.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

ステップ 1.1.6.6.2

$- 3$ を $B x$ の左に移動させます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

ステップ 1.1.6.6.3

$- 3$ を $C$ の左に移動させます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

ステップ 1.1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$B$ を移動させます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

ステップ 1.1.7.2

$9 A$ を移動させます。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$7 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 9 = - 3 B + C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$54 = 9 A - 3 C$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$7 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + B = 7$ として書き換えます。

$A + B = 7$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $7 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$54 = 9 A - 3 C$ の $A$ のすべての発生を $7 - B$ で置き換えます。

$54 = 9 (7 - B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$54 = 9 \cdot 7 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$9$ に $7$ をかけます。

$54 = 63 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

ステップ 1.3.2.2.1.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

ステップ 1.3.3

$7$ と $- B$ を並べ替えます。

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$- 9 = - 3 B + C$

ステップ 1.3.4

$- 9 = - 3 B + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

方程式を $- 3 B + C = - 9$ として書き換えます。

$- 3 B + C = - 9$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

ステップ 1.3.4.2

方程式の両辺に $3 B$ を足します。

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

ステップ 1.3.5

各方程式の $C$ のすべての発生を $- 9 + 3 B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$54 = 63 - 9 B - 3 C$ の $C$ のすべての発生を $- 9 + 3 B$ で置き換えます。

$54 = 63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

$63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$54 = 63 - 9 B - 3 \cdot - 9 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.5.2.1.1.2

$- 3$ に $- 9$ をかけます。

$54 = 63 - 9 B + 27 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.5.2.1.1.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.5.2.1.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1.2.1

$63$ と $27$ をたし算します。

$54 = - 9 B + 90 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.5.2.1.2.2

$- 9 B$ から $9 B$ を引きます。

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.6

$54 = - 18 B + 90$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

方程式を $- 18 B + 90 = 54$ として書き換えます。

$- 18 B + 90 = 54$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.6.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

方程式の両辺から $90$ を引きます。

$- 18 B = 54 - 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.6.2.2

$54$ から $90$ を引きます。

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.6.3

$- 18 B = - 36$ の各項を $- 18$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.3.1

$- 18 B = - 36$ の各項を $- 18$ で割ります。

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.3.2.1

$- 18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.6.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.3.3.1

$- 36$ を $- 18$ で割ります。

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.7

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$C = - 9 + 3 B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$C = - 9 + 3 (2)$

$B = 2$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.2.1

$- 9 + 3 (2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.2.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$C = - 9 + 6$

$B = 2$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.7.2.1.2

$- 9$ と $6$ をたし算します。

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

ステップ 1.3.7.3

$A = - B + 7$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$A = - (2) + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

ステップ 1.3.7.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.4.1

$- (2) + 7$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.4.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$A = - 2 + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

ステップ 1.3.7.4.1.2

$- 2$ と $7$ をたし算します。

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

ステップ 1.3.8

すべての解をまとめます。

$A = 5, C = - 3, B = 2$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.5

$2$ に $x$ をかけます。

$\int \frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{5}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int \frac{1}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 4

$u_{1} = x - 3$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{1} = x - 3$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 6

分数 $\frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$ を2つの分数に分割します。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{- 3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 10

$u_{2} = x^{2} + 9$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$u_{2} = x^{2} + 9$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$x^{2} + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 10.1.2

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 10.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 10.1.4

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 10.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 11.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 13.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

共通因数を約分します。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 13.2.2

式を書き換えます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 13.3

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 14

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - \int \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 16

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

ステップ 17

式を簡約します。

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ステップ 17.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 17.2

$x^{2}$ と $9$ を並べ替えます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

ステップ 17.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 18

$\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ です。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

ステップ 19

簡約します。

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ステップ 19.1

$\frac{1}{3}$ と $\arctan (\frac{x}{3})$ をまとめます。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

ステップ 19.2

簡約します。

$5 \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

ステップ 20

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 20.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

ステップ 20.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 9$ で置き換えます。

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

ステップ 21

項を並べ替えます。

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{1}{3} x) + C$

微分積分 例

微分積分例