微分積分例

$\int \frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$x$ を $x^{3} + x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.1.1.1.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x}$

ステップ 1.1.1.1.3

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2}$

ステップ 1.1.1.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2}$

ステップ 1.1.1.1.5

$x$ を $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x^{2} + x - 2)}$

ステップ 1.1.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 1.1.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x ((x - 1) (x + 2))}$

ステップ 1.1.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x - 1) (x + 2)$ です。

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.6

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.7

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.7.2

$4 x^{2} - 3 x - 4$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1.1

共通因数を約分します。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.1.2

$A ((x - 1) (x + 2))$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A ((x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.2.1

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.2.2

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.2.3

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 x - x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3.2

$2 x$ から $x$ を引きます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.4

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.5

$- 2$ を $A$ の左に移動させます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.6

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.6.1

共通因数を約分します。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + \frac{B (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.6.2

$(B) (x (x + 2))$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.7

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.8

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.9

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.10

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.12

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.12.1

共通因数を約分します。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.12.2

$(C) (x (x - 1))$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (x - 1))$

ステップ 1.1.8.13

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

ステップ 1.1.8.14

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

ステップ 1.1.8.15

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

ステップ 1.1.8.16

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - x)$

ステップ 1.1.8.17

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C (- x)$

ステップ 1.1.8.18

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1

$B$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.9.2

$B$ を移動させます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.9.3

$- 2 A$ を移動させます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x - 2 A$

ステップ 1.1.9.4

$2 x B$ を移動させます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

ステップ 1.1.9.5

$A x$ を移動させます。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + A x + 2 x B - C x - 2 A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$4 = A + B + C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 4 = - 2 A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$- 4 = - 2 A$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$- 4 = - 2 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 4 = - 2 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $- 2 A = - 4$ として書き換えます。

$- 2 A = - 4$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.1.2

$- 2 A = - 4$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

$- 2 A = - 4$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.3.1

$- 4$ を $- 2$ で割ります。

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$4 = A + B + C$ の $A$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

括弧を削除します。

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.2.3

$- 3 = A + 2 B - 1 C$ の $A$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$- 3 = (2) + 2 B - 1 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

ステップ 1.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1

$- 1 C$ を $- C$ に書き換えます。

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

ステップ 1.3.3

$4 = 2 + B + C$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $2 + B + C = 4$ として書き換えます。

$2 + B + C = 4$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$B + C = 4 - 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.3.2.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$B = 4 - 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.3.2.3

$4$ から $2$ を引きます。

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $2 - C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 3 = 2 + 2 B - C$ の $B$ のすべての発生を $2 - C$ で置き換えます。

$- 3 = 2 + 2 (2 - C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$2 + 2 (2 - C) - C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 3 = 2 + 2 \cdot 2 + 2 (- C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 3 = 2 + 4 + 2 (- C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 3 = 2 + 4 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 4 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.2.1

$2$ と $4$ をたし算します。

$- 3 = 6 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.2.2

$- 2 C$ から $C$ を引きます。

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5

$- 3 = 6 - 3 C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

方程式を $6 - 3 C = - 3$ として書き換えます。

$6 - 3 C = - 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- 3 C = - 3 - 6$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.2.2

$- 3$ から $6$ を引きます。

$- 3 C = - 9$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 C = - 9$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.3

$- 3 C = - 9$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1

$- 3 C = - 9$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.3.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.3.1

$- 9$ を $- 3$ で割ります。

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.6

各方程式の $C$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$B = 2 - C$ の $C$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

$B = 2 - (3)$

$C = 3$

$A = 2$

ステップ 1.3.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

$2 - (3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$B = 2 - 3$

$C = 3$

$A = 2$

ステップ 1.3.6.2.1.2

$2$ から $3$ を引きます。

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

ステップ 1.3.7

すべての解をまとめます。

$B = - 1, C = 3, A = 2$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{2}{x} + \frac{- 1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

ステップ 6

$u_{1} = x - 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u_{1} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 2} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{3}{x + 2} d x$

ステップ 8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 9

$u_{2} = x + 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u_{2} = x + 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 9.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$2 \ln (| x |) - \ln (| u_{1} |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 12

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$2 \ln (| x |) - \ln (| x - 1 |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 12.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$2 \ln (| x |) - \ln (| x - 1 |) + 3 \ln (| x + 2 |) + C$

微分積分 例

微分積分例