微分積分例

$\int \frac{3 x - 3}{{(x - 2 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 1

$x$ から $2 x$ を引きます。

$\int \frac{3 x - 3}{{(- x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 2.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 2.1.1

$3$ を $3 x - 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x) - 3}{{(- x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (x) + 3 (- 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3

$3$ を $3 (x) + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$

ステップ 2.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(- x + 1)}^{2}$ です。

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

ステップ 2.1.5

${(- x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

ステップ 2.1.5.2

$3 (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$3 (x - 1) = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

ステップ 2.1.6

分配則を当てはめます。

$3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

ステップ 2.1.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 x - 3 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

ステップ 2.1.8

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.8.1

${(- x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.8.1.1

共通因数を約分します。

$3 x - 3 = \frac{A {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

ステップ 2.1.8.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$3 x - 3 = A + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

ステップ 2.1.8.2

${(- x + 1)}^{2}$ と $- x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.8.2.1

$- x + 1$ を $(B) {(- x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{- x + 1}$

ステップ 2.1.8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.8.2.2.1

$1$ を掛けます。

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

ステップ 2.1.8.2.2.2

共通因数を約分します。

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

ステップ 2.1.8.2.2.3

式を書き換えます。

$3 x - 3 = A + \frac{B (- x + 1)}{1}$

ステップ 2.1.8.2.2.4

$B (- x + 1)$ を $1$ で割ります。

$3 x - 3 = A + B (- x + 1)$

ステップ 2.1.8.3

分配則を当てはめます。

$3 x - 3 = A + B (- x) + B \cdot 1$

ステップ 2.1.8.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x - 3 = A - B x + B \cdot 1$

ステップ 2.1.8.5

$B$ に $1$ をかけます。

$3 x - 3 = A - B x + B$

ステップ 2.1.9

式を簡約します。

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ステップ 2.1.9.1

$B$ を移動させます。

$3 x - 3 = A - x B + B$

ステップ 2.1.9.2

$A$ と $- x B$ を並べ替えます。

$3 x - 3 = - x B + A + B$

ステップ 2.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = - 1 B$

ステップ 2.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 3 = A + B$

ステップ 2.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

ステップ 2.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$3 = - 1 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 2.3.1.1

方程式を $- 1 B = 3$ として書き換えます。

$- 1 B = 3$

$- 3 = A + B$

ステップ 2.3.1.2

$- 1 B = 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$- 1 B = 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- 1 B}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

ステップ 2.3.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{B}{1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

ステップ 2.3.1.2.2.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

ステップ 2.3.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.3.1

$3$ を $- 1$ で割ります。

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

ステップ 2.3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 3$ で置き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$- 3 = A + B$ の $B$ のすべての発生を $- 3$ で置き換えます。

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

括弧を削除します。

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

ステップ 2.3.3

$- 3 = A - 3$ の $A$ について解きます。

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ステップ 2.3.3.1

方程式を $A - 3 = - 3$ として書き換えます。

$A - 3 = - 3$

$B = - 3$

ステップ 2.3.3.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$A = - 3 + 3$

$B = - 3$

ステップ 2.3.3.2.2

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

ステップ 2.3.4

連立方程式を解きます。

$A = 0 B = - 3$

ステップ 2.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 0, B = - 3$

ステップ 2.4

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{0}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{- 3}{- x + 1}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$0$ を ${(- x + 1)}^{2}$ で割ります。

$0 + \frac{- 3}{- x + 1}$

ステップ 2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$0 - \frac{3}{- x + 1}$

ステップ 2.5.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$0 - \frac{3}{- (x) + 1}$

ステップ 2.5.4

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$0 - \frac{3}{- (x) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.5.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$0 - \frac{3}{- (x - 1)}$

ステップ 2.5.6

式を簡約します。

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ステップ 2.5.6.1

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$0 - \frac{3}{- 1 (x - 1)}$

ステップ 2.5.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$0 + \frac{3}{x - 1}$

ステップ 2.5.6.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 (\frac{3}{x - 1})$

ステップ 2.5.6.4

$\frac{3}{x - 1}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{3}{x - 1}$

ステップ 2.5.7

式から0を削除します。

$\int \frac{3}{x - 1} d x$

ステップ 3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 4

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$3 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 6

簡約します。

$3 \ln (| u |) + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$3 \ln (| x - 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例