微分積分例

$\int \frac{24 x^{3} + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$4 x$ を $24 x^{3} + 20 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$4 x$ を $24 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.1.1.2

$4 x$ を $20 x$ で因数分解します。

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.1.1.3

$4 x$ を $4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)$ で因数分解します。

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{4} + 5 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$x^{2}$ を $3 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$x^{2}$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$ で因数分解します。

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

ステップ 1.1.1.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$x$ を $4 x (6 x^{2} + 5)$ で因数分解します。

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

ステップ 1.1.1.3.2

$x$ を $x^{2} (3 x^{2} + 5)$ で因数分解します。

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

ステップ 1.1.1.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

ステップ 1.1.1.3.4

式を書き換えます。

$\frac{4 (6 x^{2} + 5)}{x (3 x^{2} + 5)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (3 x^{2} + 5)$ です。

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.5

$3 x^{2} + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.5.2

$4 (6 x^{2} + 5)$ を $1$ で割ります。

$4 (6 x^{2} + 5) = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.6

分配則を当てはめます。

$4 (6 x^{2}) + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.7

掛け算します。

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ステップ 1.1.7.1

$6$ に $4$ をかけます。

$24 x^{2} + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.7.2

$4$ に $5$ をかけます。

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.8

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1.1

共通因数を約分します。

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.8.1.2

$A (3 x^{2} + 5)$ を $1$ で割ります。

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2} + 5) + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.8.2

分配則を当てはめます。

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2}) + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.8.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.8.4

$5$ を $A$ の左に移動させます。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.8.5

$3 x^{2} + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.8.5.1

共通因数を約分します。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.1.8.5.2

$(B x + C) (x)$ を $1$ で割ります。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + (B x + C) (x)$

ステップ 1.1.8.6

分配則を当てはめます。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x \cdot x + C x$

ステップ 1.1.8.7

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.8.7.1

$x$ を移動させます。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B (x \cdot x) + C x$

ステップ 1.1.8.7.2

$x$ に $x$ をかけます。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x^{2} + C x$

ステップ 1.1.9

式を簡約します。

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ステップ 1.1.9.1

$A$ を移動させます。

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

ステップ 1.1.9.2

$B$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

ステップ 1.1.9.3

$5 A$ を移動させます。

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + B x^{2} + C x + 5 A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$24 = 3 A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$20 = 5 A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$20 = 5 A$

ステップ 1.3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

方程式を $5 A = 20$ として書き換えます。

$5 A = 20$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

ステップ 1.3.2.2

$5 A = 20$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$5 A = 20$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

ステップ 1.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

ステップ 1.3.2.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

ステップ 1.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.3.1

$20$ を $5$ で割ります。

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

ステップ 1.3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $4$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.3.1

$24 = 3 A + B$ の $A$ のすべての発生を $4$ で置き換えます。

$24 = 3 (4) + B$

$A = 4$

$C = 0$

ステップ 1.3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

ステップ 1.3.4

$24 = 12 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.4.1

方程式を $12 + B = 24$ として書き換えます。

$12 + B = 24$

$A = 4$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$B = 24 - 12$

$A = 4$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.2.2

$24$ から $12$ を引きます。

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

ステップ 1.3.5

連立方程式を解きます。

$B = 12 A = 4 C = 0$

ステップ 1.3.6

すべての解をまとめます。

$B = 12, A = 4, C = 0$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{4}{x} + \frac{12 x + 0}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

括弧を削除します。

$\frac{4}{x} + \frac{(12) \cdot x + 0}{3 x^{2} + 5}$

ステップ 1.5.2

$12 x$ と $0$ をたし算します。

$\int \frac{4}{x} + \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

ステップ 5

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{x}{3 x^{2} + 5} d x$

ステップ 6

$u = 3 x^{2} + 5$ とします。次に $d u = 6 x d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = 3 x^{2} + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$3 x^{2} + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $3 x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 6.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 6.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$6 x + 0$

ステップ 6.1.4.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$6 x$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

ステップ 7.2

$6$ を $u$ の左に移動させます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{6 u} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{6}$ と $12$ をまとめます。

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{12}{6} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.2

$12$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.2.2.3

式を書き換えます。

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $3 x^{2} + 5$ で置き換えます。

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| 3 x^{2} + 5 |) + C$

微分積分 例

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