微分積分例

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ とします。次に $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{3 \cos (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ と $\sin (t)$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.1.2.1

積の法則を $\frac{3 \sin (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.2.2

積の法則を $3 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.5.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.5.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.5.3

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.6

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.3

$9$ を $- 9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.4

$9$ を $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ を ${(3 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $\sin (t)$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2

$3$ と $\frac{3 \sin (t)}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.4

$\frac{9 \sin (t)}{2}$ と $\cos (t)$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ で割ります。

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.6

$\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.7

$\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ に $\frac{3 \cos (t)}{2}$ をかけます。

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.8

$3$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.9

$2$ に $9$ をかけます。

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

ステップ 2.2.10

$6$ と $18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.10.1

$6$ を $6 \cos (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

ステップ 2.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.10.2.1

$6$ を $18 \sin (t) \cos (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

ステップ 2.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

ステップ 2.2.10.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

ステップ 2.2.11

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.11.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

ステップ 2.2.11.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

ステップ 4

$\frac{1}{\sin (t)}$ を $\csc (t)$ に変換します。

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

ステップ 5

$\csc (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ です。

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

ステップ 6

簡約します。

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

ステップ 7

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$

微分積分 例

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