微分積分例

$\int e^{t} \cot (e^{t} - 4) d t$

ステップ 1

$u = e^{t} - 4$ とします。次に $d u = e^{t} d t$ すると、 $\frac{1}{e^{t}} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = e^{t} - 4$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$e^{t} - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [e^{t} - 4]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $e^{t} - 4$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

ステップ 1.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- 4]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$e^{t} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$e^{t}$ と $0$ をたし算します。

$e^{t}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cot (u) d u$

ステップ 2

$\cot (u)$ の $u$ に関する積分は $\ln (| \sin (u) |)$ です。

$\ln (| \sin (u) |) + C$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $e^{t} - 4$ で置き換えます。

$\ln (| \sin (e^{t} - 4) |) + C$

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