微分積分例

$\int \frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 1.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 1.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2

$u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1 + x^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 2.1.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.1.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 2.1.3.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 2.1.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.1.4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.4.2.2

$0$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 2 \ln (u) d u$

ステップ 3

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \ln (u) d u$

ステップ 4

$w = \ln (u)$ と $dv = 1$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$2 (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$u$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

ステップ 5.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$2 (\ln (u) u - \int d u)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$2 (\ln (u) u - (u + C))$

ステップ 7

簡約します。

$2 (\ln (u) u - u) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $1 + x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}})) + C$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 9.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 9.3

分配則を当てはめます。

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 9.4

簡約します。

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ステップ 9.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 9.4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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