微分積分例

$\int \frac{\sin (\frac{5}{x})}{x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = \frac{5}{x}$ とします。次に $d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ すると、 $1 d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{5}{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{5}{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

ステップ 1.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- x^{- 2})$

ステップ 1.1.5

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 x^{- 2}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 5 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.6.2.1

$- 5$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - \frac{1}{5} \sin (u) d u$

ステップ 2

$- \frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

ステップ 3

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$- \frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

簡約します。

$- \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{5}) \cos (u) + C$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cos (u) + C$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{5}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$\frac{\cos (u)}{5} + C$

ステップ 5

$u$ のすべての発生を $\frac{5}{x}$ で置き換えます。

$\frac{\cos (\frac{5}{x})}{5} + C$

ステップ 6

項を並べ替えます。

$\frac{1}{5} \cos (\frac{5}{x}) + C$

微分積分 例

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