微分積分例

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{6})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{6}$

ステップ 1.3.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

ステップ 1.3.1.3

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.4

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

ステップ 1.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

ステップ 1.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

ステップ 1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) d u$

ステップ 4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

ステップ 5

$\frac{π}{3}$ および $- \frac{π}{3}$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3}))$

ステップ 6

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3}))$

ステップ 7.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3}))$

ステップ 7.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{2}$

ステップ 7.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2}$

ステップ 7.4

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 7.5

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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