微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x$

ステップ 1

半角公式を利用して $\cos^{2} (x)$ を $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

ステップ 5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 5.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

ステップ 5.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

ステップ 5.5

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

ステップ 8

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{π}{3}$ および $\frac{π}{4}$ で $x$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 9.2

$\frac{2 π}{3}$ および $\frac{π}{2}$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$\frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 9.3.2

$- \frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 9.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.3.3.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 9.3.3.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 9.3.3.3

$\frac{π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 9.3.3.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 9.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 9.3.5

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 9.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 9.3.7

$4 π$ から $3 π$ を引きます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

ステップ 10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

ステップ 11.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

ステップ 11.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 11.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

ステップ 11.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

ステップ 11.4

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

ステップ 11.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

ステップ 11.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 11.7

簡約します。

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ステップ 11.7.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12}$ を掛けます。

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ステップ 11.7.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{12}$ をかけます。

$\frac{π}{2 \cdot 12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 11.7.1.2

$2$ に $12$ をかけます。

$\frac{π}{24} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 11.7.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ を掛けます。

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ステップ 11.7.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{4}$ をかけます。

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 11.7.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 11.7.3

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

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ステップ 11.7.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.7.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.09740604 \dots$

微分積分 例

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