微分積分例

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 x + \cos (x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 x d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 5

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

代入し簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{π}{2}$ および $- \frac{π}{2}$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- \frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 6.1.2

$\frac{π}{2}$ および $- \frac{π}{2}$ で $\sin (x)$ の値を求めます。

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

$- 1$ を $- \frac{π}{2}$ で因数分解します。

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- (\frac{π}{2}))}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.2

積の法則を $- (\frac{π}{2})$ に当てはめます。

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{1 {(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.4

${(\frac{π}{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2} - {(\frac{π}{2})}^{2}}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.6

${(\frac{π}{2})}^{2}$ から ${(\frac{π}{2})}^{2}$ を引きます。

$2 (\frac{0}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.7

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.7.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$2 \frac{2 (0)}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.7.2.3

式を書き換えます。

$2 (\frac{0}{1}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.7.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$2 \cdot 0 + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.8

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.1.3.9

$0$ と $\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$ をたし算します。

$\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$1 - \sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$1 - \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 6.3.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$1 - - \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 6.3.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$1 - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 6.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - - 1$

ステップ 6.3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 1$

ステップ 6.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$2$

微分積分 例

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