微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

ステップ 1

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 1.2

$u = \sin (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4

$u = \sin (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

ステップ 3

代入し簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ および $\frac{\sqrt{2}}{2}$ で $\frac{1}{4} u^{4}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

ステップ 4.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

ステップ 4.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

ステップ 4.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

ステップ 4.1.2.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

ステップ 4.1.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

ステップ 4.1.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

ステップ 4.1.2.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

ステップ 4.1.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

ステップ 4.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

ステップ 4.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- \frac{1}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

ステップ 4.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

ステップ 4.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

ステップ 4.3.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 - 1}{16}$

ステップ 4.5

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{3}{16}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{16}$

10進法形式：

$0.1875$

微分積分 例

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