微分積分例

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

ステップ 1

$u = 1 + \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- d u = \sin (x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = 1 + \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$1 + \cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - \sin (x)$

ステップ 1.1.4

$0$ から $\sin (x)$ を引きます。

$- \sin (x)$

ステップ 1.2

$u = 1 + \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

ステップ 1.3.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

ステップ 1.4

$u = 1 + \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 1 + 0$

ステップ 1.5.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

ステップ 6

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$1$ および $\frac{3}{2}$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

10進法形式：

$0.44948974 \dots$

微分積分 例

微分積分例