微分積分例

$\frac{3^{x}}{\log_{3} (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 3^{x}$ および $g (x) = \log_{3} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\log_{3} (x) \frac{d}{d x} [3^{x}] - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 2

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 3

$x$ に関する $\log_{3} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (3)}$ です。

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 4

$\frac{1}{x \ln (3)}$ と $3^{x}$ をまとめます。

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.1.2

$\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$3^{x}$ を $3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$3^{x}$ を $3^{x} \ln (3) \log_{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.1.2

$3^{x}$ を $- \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ で因数分解します。

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.1.3

$3^{x}$ を $3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})$ で因数分解します。

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.2

$\ln (3) \log_{3} (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ を掛けます。

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) \cdot \frac{x \ln (3)}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.3

$\ln (3) \log_{3} (x)$ と $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ をまとめます。

$\frac{3^{x} (\frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3^{x} \frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.1

$\ln (3)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.5.1.2

$\ln (3)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x {\ln (3)}^{1 + 1}) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x \ln^{2} (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3^{x} \frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.3

$3^{x}$ と $\frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)} \cdot \frac{1}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.5

まとめる。

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.6

$3^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

ステップ 5.7

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3^{x} (x \ln^{2} (3) \log_{3} (x) - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

微分積分 例

微分積分例