微分積分例

$\int \cos^{2} (\frac{π}{2} x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = \frac{π}{2} x$ とします。次に $d u_{1} = \frac{π}{2} d x$ すると、 $\frac{2}{π} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = \frac{π}{2} x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{π}{2} x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{π}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π}{2} x$ の微分係数は $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{π}{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{π}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{π}{2}$ で割ります。

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \frac{2}{π}) d u_{1}$

ステップ 2.2

$\frac{2}{π}$ に $1$ をかけます。

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{2}{π} d u_{1}$

ステップ 2.3

$\cos^{2} (u_{1})$ と $\frac{2}{π}$ をまとめます。

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cdot 2}{π} d u_{1}$

ステップ 2.4

$2$ を $\cos^{2} (u_{1})$ の左に移動させます。

$\int \frac{2 \cos^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{2}{π}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{2}{π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{π} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

半角公式を利用して $\cos^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{π} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{π} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{π}$ をかけます。

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{π} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 9

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 9.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 10

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 12

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{1}{π} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{π}{2} x$ で置き換えます。

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

ステップ 14.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{π}{2} x$ で置き換えます。

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$\frac{π}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

ステップ 15.1.2

$\frac{π}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

ステップ 15.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

ステップ 15.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (π x)) + C$

ステップ 15.1.4

$\frac{1}{2}$ と $\sin (π x)$ をまとめます。

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2}) + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

ステップ 15.3

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.3.1

$π$ を $π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

ステップ 15.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

ステップ 15.3.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

ステップ 15.4

$\frac{1}{π}$ に $\frac{\sin (π x)}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{π \cdot 2} + C$

ステップ 15.5

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2 π} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2 π} \sin (π x) + C$

微分積分 例

微分積分例