微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

ステップ 1

$u_{2} = \cos (4 t)$ とします。次に $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ すると、 $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \cos (4 t)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (4 t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

ステップ 1.1.2

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = 4 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 t$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 t$ で置き換えます。

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4 \sin (4 t)$

ステップ 1.2

$u_{2} = \cos (4 t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 1.3.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u_{2} = \cos (4 t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

ステップ 1.5.1.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

ステップ 1.5.1.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

ステップ 2.2

$3^{u_{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 5

$3^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ です。

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

ステップ 6

$\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$0$ および $1$ で $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ の値を求めます。

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

ステップ 7.2.2

指数を求めます。

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

ステップ 7.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

ステップ 7.2.4

$1$ から $3$ を引きます。

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

ステップ 7.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

ステップ 7.2.6

$\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ を積として書き換えます。

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 7.2.7

$\frac{1}{4}$ に $\frac{2}{\ln (3)}$ をかけます。

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

ステップ 7.2.8

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.8.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

ステップ 7.2.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.8.2.1

$2$ を $4 \ln (3)$ で因数分解します。

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

ステップ 7.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

ステップ 7.2.8.2.3

式を書き換えます。

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

ステップ 7.2.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

ステップ 7.2.10

$\frac{1}{2 \ln (3)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

10進法形式：

$0.45511961 \dots$

微分積分 例

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