微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec^{4} (x) d x$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (x) d x$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

ステップ 2.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ に書き換えます。

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 4

$u = \tan (x)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \tan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\tan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 4.2

$u = \tan (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \tan (0)$

ステップ 4.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = \tan (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

ステップ 4.5

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$5 \int_{0}^{1} 1 + u^{2} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$5 (\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$5 (u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$5 (u]_{0}^{1} + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$u]_{0}^{1}$ と $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ をまとめます。

$5 (u + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

ステップ 8.2

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$5 (u + \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ および $0$ で $u + \frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$5 ((1 + \frac{1^{3}}{3}) - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (1 + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$5 (\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3

公分母の分子をまとめます。

$5 (\frac{3 + 1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.4

$3$ と $1$ をたし算します。

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{3}))$

ステップ 9.2.6

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.6.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}))$

ステップ 9.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

ステップ 9.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

ステップ 9.2.6.2.3

式を書き換えます。

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{1}))$

ステップ 9.2.6.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$5 (\frac{4}{3} - (0 + 0))$

ステップ 9.2.7

$0$ と $0$ をたし算します。

$5 (\frac{4}{3} - 0)$

ステップ 9.2.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$5 (\frac{4}{3} + 0)$

ステップ 9.2.9

$\frac{4}{3}$ と $0$ をたし算します。

$5 (\frac{4}{3})$

ステップ 9.2.10

$5$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

ステップ 9.2.11

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20}{3}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{20}{3}$

10進法形式：

$6.\overline{6}$

帯分数形：

$6 \frac{2}{3}$

微分積分 例

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