微分積分例

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} + \sqrt{x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

ステップ 2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

ステップ 4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$1$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 6.2

$1$ および $0$ で $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.3.2.3

式を書き換えます。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$5 (\frac{1}{3} - 0) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$5 (\frac{1}{3} + 0) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.5

$\frac{1}{3}$ と $0$ をたし算します。

$5 (\frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.6

$5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.8

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.9

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.10

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 6.3.11

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 6.3.11.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

ステップ 6.3.12

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

ステップ 6.3.13

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

ステップ 6.3.14

$0$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} + 0$

ステップ 6.3.15

$\frac{2}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 6.3.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 + 2}{3}$

ステップ 6.3.17

$5$ と $2$ をたし算します。

$\frac{7}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{7}{3}$

10進法形式：

$2.\overline{3}$

帯分数形：

$2 \frac{1}{3}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例