微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

ステップ 2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 3.2

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 4

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}}$ と $\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ をまとめます。

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ の値を求めます。

$(\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2})) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

ステップ 5.2.2

簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\frac{π}{2}$ と $\cos (\frac{π}{2})$ をまとめます。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

ステップ 5.2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

ステップ 5.2.2.3

$0$ に $\cos (0)$ をかけます。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 + \sin (0))$

ステップ 5.2.2.4

$0$ と $\sin (0)$ をたし算します。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

ステップ 5.3.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - \sin (0)$

ステップ 5.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - 0$

ステップ 5.3.4

$π$ に $0$ をかけます。

$- \frac{0}{2} + 1 - 0$

ステップ 5.3.5

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{2 (0)}{2} + 1 - 0$

ステップ 5.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

ステップ 5.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

ステップ 5.3.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{0}{1} + 1 - 0$

ステップ 5.3.5.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- 0 + 1 - 0$

ステップ 5.3.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 1 - 0$

ステップ 5.3.7

$0$ と $1$ をたし算します。

$1 - 0$

ステップ 5.3.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$1 + 0$

ステップ 5.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

微分積分 例

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