微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \cos (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \cos (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x)$

ステップ 1.2

$u_{2} = \cos (2 x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 1.3.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u_{2} = \cos (2 x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{12})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

ステップ 1.5.1.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

ステップ 1.5.1.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 1.5.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} d u_{2})$

ステップ 5

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ および $1$ で $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

ステップ 6.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.2

まとめる。

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.3

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.1.3.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

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ステップ 7.1.3.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.5.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{1}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.5.5

指数を求めます。

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.1.6

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.2

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

ステップ 7.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4})$

ステップ 7.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{8})$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 4}{8}$

ステップ 7.5

$3$ から $4$ を引きます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{8}$

ステップ 7.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$

ステップ 7.7

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$ を掛けます。

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ステップ 7.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{8}$

ステップ 7.7.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

ステップ 7.7.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

ステップ 7.7.4

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{16}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{16}$

10進法形式：

$0.0625$

微分積分 例

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