微分積分例

$\int \frac{y - 2}{y^{2} + 2 y - 3} d y$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

たすき掛けを利用して $y^{2} + 2 y - 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 1.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{y - 2}{(y - 1) (y + 3)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(y - 1) (y + 3)$ です。

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.1.5

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.1.6

$y + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.1.6.2

$y - 2$ を $1$ で割ります。

$y - 2 = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$y - 2 = \frac{A (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.1.7.1.2

$(A) (y + 3)$ を $1$ で割ります。

$y - 2 = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$y - 2 = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.1.7.3

$3$ を $A$ の左に移動させます。

$y - 2 = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.1.7.4

$y + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$y - 2 = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

ステップ 1.1.7.4.2

$(B) (y - 1)$ を $1$ で割ります。

$y - 2 = A y + 3 A + (B) (y - 1)$

ステップ 1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$y - 2 = A y + 3 A + B y + B \cdot - 1$

ステップ 1.1.7.6

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$y - 2 = A y + 3 A + B y - 1 \cdot B$

ステップ 1.1.7.7

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$y - 2 = A y + 3 A + B y - B$

ステップ 1.1.8

$3 A$ を移動させます。

$y - 2 = A y + B y + 3 A - B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $y$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $y$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 2 = 3 A - 1 B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A - 1 B$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

$- 2 = 3 A - 1 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$- 2 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$3 (1 - B) - 1 B$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$- 2 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 2 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.4

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$- 3 B$ から $B$ を引きます。

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3

$- 2 = 3 - 4 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $3 - 4 B = - 2$ として書き換えます。

$3 - 4 B = - 2$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 4 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.2.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3

$- 4 B = - 5$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1

$- 4 B = - 5$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{5}{4}$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{5}{4}$ で置き換えます。

$A = 1 - (\frac{5}{4})$

$B = \frac{5}{4}$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1

$1 - (\frac{5}{4})$ を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

ステップ 1.3.4.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{4 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

ステップ 1.3.4.2.1.3

$4$ から $5$ を引きます。

$A = \frac{- 1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

ステップ 1.3.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{5}{4}$

ステップ 1.4

$\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{1}{4}}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{y - 1}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{(y - 1) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

ステップ 1.5.3

$4$ を $y - 1$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

ステップ 1.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{y + 3}$

ステップ 1.5.5

$\frac{5}{4}$ に $\frac{1}{y + 3}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

ステップ 3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y - 1} d y) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

ステップ 5

$u_{1} = y - 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{1} = y - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 5.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

ステップ 6

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

ステップ 7

$\frac{5}{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{5}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{y + 3} d y$

ステップ 8

$u_{2} = y + 3$ とします。次に $d u_{2} = d y$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = y + 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$y + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $y + 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 8.1.4

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 10

簡約します。

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $y + 3$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| y + 3 |) + C$

微分積分 例

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