微分積分例

$\int \frac{y + 3}{{(3 - y)}^{\frac{2}{3}}} d y$

ステップ 1

$u = 3 - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 - y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [3 - y]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.1.2.2

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d y} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 1.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- (- u + 3) - 3}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$u^{\frac{2}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (- (- u + 3) - 3) {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.2

${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

ステップ 2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{- 2}{3}} d u$

ステップ 2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3

$(- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int (- - u - 1 \cdot 3 - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\int (- - u - 1 \cdot 3) u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\int - - u u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.4

括弧を移動させます。

$\int - - 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.6

$u$ に $1$ をかけます。

$\int u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.7

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.9

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int u^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.10

公分母の分子をまとめます。

$\int u^{\frac{3 - 2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.11

$3$ から $2$ を引きます。

$\int u^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.12

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\int u^{\frac{1}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 3.13

$- 3 u^{- \frac{2}{3}}$ から $3 u^{- \frac{2}{3}}$ を引きます。

$\int u^{\frac{1}{3}} - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 6

$- 6$ は $u$ に対して定数なので、 $- 6$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- \frac{2}{3}}$ の $u$ に関する積分は $3 u^{\frac{1}{3}}$ です。

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

ステップ 8.2

$- 6$ に $3$ をかけます。

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 18 u^{\frac{1}{3}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $3 - y$ で置き換えます。

$\frac{3}{4} {(3 - y)}^{\frac{4}{3}} - 18 {(3 - y)}^{\frac{1}{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例