微分積分例

$\int x^{2} \cos (7 x) d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = \cos (7 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (\frac{1}{7} \sin (7 x)) - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{7}$ と $\sin (7 x)$ をまとめます。

$x^{2} \frac{\sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $\frac{\sin (7 x)}{7}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{7} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - (\frac{1}{7} \cdot 2 \int \sin (7 x) (x) d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{7}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} \int \sin (7 x) (x) d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = \sin (7 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{1}{7} \cos (7 x)) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\cos (7 x)$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{\cos (7 x)}{7}) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{\cos (7 x)}{7}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

ステップ 6.3

$\cos (7 x)$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - - \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + 1 \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

ステップ 8.2

$\int \frac{\cos (7 x)}{7} d x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{7}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (7 x) d x)$

ステップ 10

$u = 7 x$ とします。次に $d u = 7 d x$ すると、 $\frac{1}{7} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$u = 7 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$7 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 10.1.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$7$ に $1$ をかけます。

$7$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (u) \frac{1}{7} d u)$

ステップ 11

$\cos (u)$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \frac{\cos (u)}{7} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{7}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int \cos (u) d u))$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{1}{7}$ に $\frac{1}{7}$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7 \cdot 7} \int \cos (u) d u)$

ステップ 13.2

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} \int \cos (u) d u)$

ステップ 14

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$ を $\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

ステップ 15.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$\frac{1}{7}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{7} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

ステップ 15.2.2

$\frac{x^{2}}{7}$ と $\sin (7 x)$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

ステップ 15.2.3

$x$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x}{7} \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

ステップ 15.2.4

$\cos (7 x)$ と $\frac{x}{7}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

ステップ 15.2.5

$\frac{1}{49}$ と $\sin (u)$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) + C$

ステップ 15.2.6

$- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot \frac{7}{7} + C$

ステップ 15.2.7

$- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} + \frac{- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

ステップ 15.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

ステップ 15.2.9

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 7 (\frac{2}{7}) (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

ステップ 15.2.10

$- 7$ と $\frac{2}{7}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 7 \cdot 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

ステップ 15.2.11

$- 7$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 14}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

ステップ 15.2.12

$- 14$ と $7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.12.1

$7$ を $- 14$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

ステップ 15.2.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.12.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 (1)} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

ステップ 15.2.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

ステップ 15.2.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

ステップ 15.2.12.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

ステップ 16

$u$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

ステップ 17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$\frac{\cos (7 x) x}{7}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

ステップ 17.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7}) - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.2

$- 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + 2 \frac{x \cos (7 x)}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.2.2

$2$ と $\frac{x \cos (7 x)}{7}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.3

$- 2$ と $\frac{\sin (7 x)}{49}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} + \frac{- 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 x \cos (7 x)}{7} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.5

$x^{2} \sin (7 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{49}{49}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + x^{2} \sin (7 x) \cdot \frac{49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.6

$x^{2} \sin (7 x)$ と $\frac{49}{49}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.8

$\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $49$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.9.1

$\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.9.2

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{49} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.11

因数分解した形で $\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.11.1

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.2.11.2

$49$ を $x^{2} \sin (7 x)$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

ステップ 17.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7} + C$

ステップ 17.4

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}$ に $\frac{1}{7}$ をかけます。

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49 \cdot 7} + C$

ステップ 17.4.2

$49$ に $7$ をかけます。

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{343} + C$

ステップ 17.5

項を並べ替えます。

$\frac{1}{343} (14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)) + C$

微分積分 例

微分積分例