微分積分例

$\int \sqrt{x} (6 - x) d x$

ステップ 1

$u = 6 - x$ と $d v = \sqrt{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(6 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 2.2

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 1 d x$

ステップ 2.3

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{3} d x$

ステップ 2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

ステップ 2.5

分数の前に負数を移動させます。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

ステップ 4.2

$\int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ に $1$ をかけます。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

ステップ 5

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ を $4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ に書き換えます。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{2}{5}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 7.2.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ をかけます。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

ステップ 7.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

ステップ 7.2.4

$3$ に $5$ をかけます。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 7.2.5

$- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 7.2.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.6.1

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 7.2.6.2

$3$ に $5$ をかけます。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 7.2.7

公分母の分子をまとめます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 7.2.8

$5$ に $- 2$ をかけます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 7.2.9

$- 10 x^{\frac{5}{2}}$ と $4 x^{\frac{5}{2}}$ をたし算します。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 7.2.10

$3$ を $- 6 x^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

ステップ 7.2.11

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.11.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)} + C$

ステップ 7.2.11.2

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

ステップ 7.2.11.3

式を書き換えます。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 7.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

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