微分積分例

$\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan (t) d t$

ステップ 1

$u = \arctan (t)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 2

$t$ と $\frac{1}{t^{2} + 1}$ をまとめます。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 3

$u = t^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 t d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = t^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$t^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 3.1.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 t + 0$

ステップ 3.1.5

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$2 t$

ステップ 3.2

$u = t^{2} + 1$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = {\sqrt{x}}^{2} + 1$

ステップ 3.3

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{lower} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

ステップ 3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{lower} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

ステップ 3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

ステップ 3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

共通因数を約分します。

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

ステップ 3.3.4.2

式を書き換えます。

$u_{lower} = x^{1} + 1$

ステップ 3.3.5

簡約します。

$u_{lower} = x + 1$

ステップ 3.4

$u = t^{2} + 1$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = {(2 x)}^{2} + 1$

ステップ 3.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.1

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$u_{upper} = 2^{2} x^{2} + 1$

ステップ 3.5.2

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = x + 1$

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 4.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - (\frac{1}{2} \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$2 x$ および $\sqrt{x}$ で $\arctan (t) t$ の値を求めます。

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

ステップ 7.2

$4 x^{2} + 1$ および $x + 1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} ((\ln (| 4 x^{2} + 1 |)) - \ln (| x + 1 |))$

ステップ 7.3

括弧を削除します。

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} (\ln (| 4 x^{2} + 1 |) - \ln (| x + 1 |))$

ステップ 8

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

ステップ 9.1.2

$\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

ステップ 9.2

$2 \arctan (2 x) x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + 2 \arctan (2 x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

ステップ 9.3

$2 \arctan (2 x) x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

ステップ 9.4

公分母の分子をまとめます。

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2 - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

ステップ 9.5

$2$ に $2$ をかけます。

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{4 \arctan (2 x) x - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

微分積分 例

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