微分積分例

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\cos (x)$ を $\cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} d x$

ステップ 1.2

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

ステップ 1.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

ステップ 1.4

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.7

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$\int {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.9

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.9.1

$\sec (x)$ を移動させます。

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.9.2

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 1.9.2.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

ステップ 1.9.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

ステップ 2

$u = \sec (x)$ とします。次に $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \sec (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\sec (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{2} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$

微分積分 例

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