微分積分例

$\int t^{2} \sin (B t) d t$

ステップ 1

$u = t^{2}$ と $d v = \sin (B t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$t^{2} (- \frac{\cos (B t)}{B}) - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$t^{2}$ と $\frac{\cos (B t)}{B}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

ステップ 2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - 2 \frac{\cos (B t)}{B} t d t$

ステップ 2.3

$- 2$ と $\frac{\cos (B t)}{B}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t)}{B} t d t$

ステップ 2.4

$\frac{- 2 \cos (B t)}{B}$ と $t$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t) t}{B} d t$

ステップ 2.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

ステップ 3

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - - \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + 1 \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

ステップ 4.2

$\int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$ に $1$ をかけます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

ステップ 5

$\frac{2}{B}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{2}{B}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} \int \cos (B t) t d t$

ステップ 6

$u = t$ と $d v = \cos (B t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (t \frac{\sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

ステップ 7

$t$ と $\frac{\sin (B t)}{B}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

ステップ 8

$\frac{1}{B}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{B}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - (\frac{1}{B} \int \sin (B t) d t))$

ステップ 9

$u = B t$ とします。次に $d u = B d t$ すると、 $\frac{1}{B} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = B t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$B t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [B t]$

ステップ 9.1.2

$B$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $B t$ の微分係数は $B \frac{d}{d t} [t]$ です。

$B \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$B \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$B$ に $1$ をかけます。

$B$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \sin (u) \frac{1}{B} d u)$

ステップ 10

$\sin (u)$ と $\frac{1}{B}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \frac{\sin (u)}{B} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{B}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{B}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} (\frac{1}{B} \int \sin (u) d u))$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{B}$ に $\frac{1}{B}$ をかけます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B \cdot B} \int \sin (u) d u)$

ステップ 12.2

$B$ を $1$ 乗します。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B} \int \sin (u) d u)$

ステップ 12.3

$B$ を $1$ 乗します。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B^{1}} \int \sin (u) d u)$

ステップ 12.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

ステップ 12.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} \int \sin (u) d u)$

ステップ 13

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$ を $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$

ステップ 14.2

簡約します。

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ステップ 14.2.1

$\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{B}{B}$ を掛けます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) \cdot \frac{B}{B} + C$

ステップ 14.2.2

$\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ と $\frac{B}{B}$ をまとめます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

ステップ 14.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

ステップ 14.2.4

$B$ と $\frac{2}{B}$ をまとめます。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{B \cdot 2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

ステップ 14.2.5

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 \cdot B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

ステップ 14.2.6

$B$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

ステップ 14.2.6.2

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $B t$ で置き換えます。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

分子を簡約します。

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ステップ 16.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 \frac{t \sin (B t)}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

ステップ 16.1.2

$2$ と $\frac{t \sin (B t)}{B}$ をまとめます。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 (t \sin (B t))}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

ステップ 16.1.3

$2$ と $\frac{\cos (B t)}{B^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

ステップ 16.2

$- 1$ を $- t^{2} \cos (B t)$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

ステップ 16.3

$- 1$ を $\frac{2 t \sin (B t)}{B}$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

ステップ 16.4

$- 1$ を $- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

ステップ 16.5

$- 1$ を $\frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

ステップ 16.6

$- 1$ を $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

ステップ 16.7

$- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ を $- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

ステップ 16.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

ステップ 16.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

ステップ 16.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} - \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

微分積分 例

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