微分積分例

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

ステップ 1

$\sqrt{t}$ を $t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$\sqrt{t}$ を $t \sqrt{t}$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

ステップ 1.2

$1$ を掛けます。

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

ステップ 1.3

$\sqrt{t}$ を $\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$t^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

${(t^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

ステップ 2.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

ステップ 2.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

ステップ 2.2.3

指数を足して $t^{\frac{1}{2}}$ に $t^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.3.1

$t^{- 2}$ を移動させます。

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

ステップ 2.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

ステップ 2.2.3.3

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

ステップ 2.2.3.4

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

ステップ 2.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

ステップ 2.2.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.3.6.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

ステップ 2.2.3.6.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

ステップ 2.2.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

ステップ 3

$t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

ステップ 3.2

$t^{- \frac{3}{2}}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 3.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 3.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 3.7

$- 3$ と $2$ をたし算します。

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 3.8

$t^{- \frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 4

分数の前に負数を移動させます。

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 6

べき乗則では、 $t^{- \frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $2 t^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

ステップ 7

べき乗則では、 $t^{- \frac{3}{2}}$ の $t$ に関する積分は $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ です。

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

微分積分例