微分積分例

$f (x) = {(x + 3)}^{4}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 {(x + 3)}^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3})$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = 4 (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

ステップ 1.1.2.3.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.1.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

ステップ 1.1.2.3.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)$

ステップ 1.1.2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.5.2

$12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 {(x + 3)}^{2}$ です。

$12 {(x + 3)}^{2}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 {(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 1.2.2

$12 {(x + 3)}^{2} = 0$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$12 {(x + 3)}^{2} = 0$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

${(x + 3)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x + 3)}^{2} = \frac{0}{12}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を $12$ で割ります。

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 1.2.3

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 3)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f'' (- 6) = 12 {((- 6) + 3)}^{2}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 6$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 6) = 12 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.2.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = 12 \cdot 9$

ステップ 4.2.3

$12$ に $9$ をかけます。

$f'' (- 6) = 108$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $108$ です。

$108$

ステップ 4.3

$f'' (- 6)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 3)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 3)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 3, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 12 {((0) + 3)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ と $3$ をたし算します。

$f'' (0) = 12 \cdot 3^{2}$

ステップ 5.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (0) = 12 \cdot 9$

ステップ 5.2.3

$12$ に $9$ をかけます。

$f'' (0) = 108$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $108$ です。

$108$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- 3, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 3)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例