微分積分例

$\int_{- 2}^{4} 2 + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 2}^{4} 2 d y + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

ステップ 2

定数の法則を当てはめます。

$2 y]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

ステップ 4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

ステップ 5

$- \frac{1}{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{4} y^{2} d y$

ステップ 6

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

ステップ 7

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$4$ および $- 2$ で $2 y$ の値を求めます。

$(2 \cdot 4) - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

ステップ 7.2

$4$ および $- 2$ で $\frac{1}{2} y^{2}$ の値を求めます。

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

ステップ 7.3

$4$ および $- 2$ で $\frac{1}{3} y^{3}$ の値を求めます。

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$2$ に $4$ をかけます。

$8 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$8 + 4 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.3

$8$ と $4$ をたし算します。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.4

$4$ を $2$ 乗します。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.5

$\frac{1}{2}$ と $16$ をまとめます。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.6

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.6.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.6.2.2

共通因数を約分します。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.6.2.3

式を書き換えます。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.6.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.7

$- 2$ を $2$ 乗します。

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} \cdot 4) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.8

$4$ に $- 1$ をかけます。

$12 + \frac{1}{2} (8 - 4 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.9

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 4}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.10

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.10.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.10.2.3

式を書き換えます。

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 2}{1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.10.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$12 + \frac{1}{2} (8 - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.11

$8$ から $2$ を引きます。

$12 + \frac{1}{2} \cdot 6 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.12

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$12 + \frac{6}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.13

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.13.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.13.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.13.2.2

共通因数を約分します。

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.13.2.3

式を書き換えます。

$12 + \frac{3}{1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.13.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$12 + 3 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.14

$12$ と $3$ をたし算します。

$15 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.15

$4$ を $3$ 乗します。

$15 - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.16

$\frac{1}{3}$ と $64$ をまとめます。

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 7.4.17

$- 2$ を $3$ 乗します。

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

ステップ 7.4.18

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

ステップ 7.4.19

$8$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

ステップ 7.4.20

公分母の分子をまとめます。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{64 + 8}{3}$

ステップ 7.4.21

$64$ と $8$ をたし算します。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{72}{3}$

ステップ 7.4.22

$72$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.22.1

$3$ を $72$ で因数分解します。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3}$

ステップ 7.4.22.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.22.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

ステップ 7.4.22.2.2

共通因数を約分します。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

ステップ 7.4.22.2.3

式を書き換えます。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{1}$

ステップ 7.4.22.2.4

$24$ を $1$ で割ります。

$15 - \frac{1}{4} \cdot 24$

ステップ 7.4.23

$24$ に $- 1$ をかけます。

$15 - 24 (\frac{1}{4})$

ステップ 7.4.24

$- 24$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$15 + \frac{- 24}{4}$

ステップ 7.4.25

$- 24$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.25.1

$4$ を $- 24$ で因数分解します。

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

ステップ 7.4.25.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.25.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

ステップ 7.4.25.2.2

共通因数を約分します。

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

ステップ 7.4.25.2.3

式を書き換えます。

$15 + \frac{- 6}{1}$

ステップ 7.4.25.2.4

$- 6$ を $1$ で割ります。

$15 - 6$

ステップ 7.4.26

$15$ から $6$ を引きます。

$9$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例