微分積分例

$\int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 4 \sin (t)$ とします。次に $d x = 4 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $4 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

積の法則を $4 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.1.3

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.2

$16$ を $16$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.3

$16$ を $- 16 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.4

$16$ を $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.6

積の法則を $16 \cos^{2} (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.7

$16$ を $3$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.8

${(\cos^{2} (t))}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.9

$4096 \cos^{6} (t)$ を ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2

$4 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$4 \cos (t)$ を $64 \cos^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

ステップ 4

$\frac{1}{16}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{16}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

ステップ 5

$\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ を $\sec^{2} (t)$ に変換します。

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 6

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

ステップ 8

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{4})$ で置き換えます。

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

微分積分 例

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