微分積分例

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

ステップ 1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

ステップ 2

$x^{3}$ を ${(x^{3})}^{1}$ に書き換えます。

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

ステップ 3

$u_{1} = x^{3}$ とします。次に $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = x^{3}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2}$

ステップ 3.2

$u_{1} = x^{3}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1^{3}$

ステップ 3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 3.4

$u_{1} = x^{3}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3^{3}$

ステップ 3.5

$3$ を $3$ 乗します。

$u_{upper} = 27$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

ステップ 3.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

簡約します。

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

ステップ 4.3

$3$ を $8 u_{1} + 1$ の左に移動させます。

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

ステップ 6.2

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

ステップ 6.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

ステップ 7

$u_{2} = 8 u_{1} + 1$ とします。次に $d u_{2} = 8 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = 8 u_{1} + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$8 u_{1} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $8 u_{1} + 1$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

ステップ 7.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ の値を求めます。

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ステップ 7.1.3.1

$8$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $8 u_{1}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

ステップ 7.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

ステップ 7.1.3.3

$8$ に $1$ をかけます。

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

ステップ 7.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 7.1.4.1

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 + 0$

ステップ 7.1.4.2

$8$ と $0$ をたし算します。

$8$

ステップ 7.2

$u_{2} = 8 u_{1} + 1$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$8$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 8 + 1$

ステップ 7.3.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 9$

ステップ 7.4

$u_{2} = 8 u_{1} + 1$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

ステップ 7.5

簡約します。

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ステップ 7.5.1

$8$ に $27$ をかけます。

$u_{upper} = 216 + 1$

ステップ 7.5.2

$216$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 217$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

ステップ 7.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

ステップ 8.2

$8$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9

$\frac{1}{8}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{8}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10.2

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

ステップ 12

$217$ および $9$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

ステップ 13.2

$\frac{1}{4}$ と $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $217$ の間の距離は $217$ です。

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

ステップ 14.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $9$ の間の距離は $9$ です。

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

10進法形式：

$0.79566819 \dots$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例