微分積分例

$\int \sqrt{9 x^{4} - 6 x^{2} + 1} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t)$ とします。次に $d x = \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3}$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2

$\sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\int \sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2.6.5

指数を求めます。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.3

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3})}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3}$ に当てはめます。

$\int \sqrt{9 \frac{{(\sqrt{3} \sec (t))}^{4}}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.4.2

積の法則を $\sqrt{3} \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{9 \frac{{\sqrt{3}}^{4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

${\sqrt{3}}^{4}$ を $3^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{9 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{4}{2}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2}{1}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\int \sqrt{9 \frac{3^{2} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.6

$3$ を $4$ 乗します。

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{81} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.7

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

$9$ を $81$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{9 (9)} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.7.2

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{9 \cdot 9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.7.3

式を書き換えます。

$\int \sqrt{\frac{9 \sec^{4} (t)}{9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.8

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{\frac{9 \sec^{4} (t)}{9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.8.2

$\sec^{4} (t)$ を $1$ で割ります。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.9

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10.6.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.10.6.5

指数を求めます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.11

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3})}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.12

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.12.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3}$ に当てはめます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{(\sqrt{3} \sec (t))}^{2}}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.12.2

積の法則を $\sqrt{3} \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.13

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.13.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.13.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.13.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.13.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.13.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.13.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{1} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.13.5

指数を求めます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.14

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3 \sec^{2} (t)}{9} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.15

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.15.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 (- 2) \frac{3 \sec^{2} (t)}{9} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.15.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 \cdot - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \cdot 3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.15.3

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 \cdot - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \cdot 3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.15.4

式を書き換えます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.16

$- 2$ と $\frac{3 \sec^{2} (t)}{3}$ をまとめます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 2 (3 \sec^{2} (t))}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.17

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 6 \sec^{2} (t)}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.18

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.18.1

$3$ を $- 6 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.18.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.18.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3 (1)} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.18.2.2

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3 \cdot 1} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.18.2.3

式を書き換えます。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 2 \sec^{2} (t)}{1} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.18.2.4

$- 2 \sec^{2} (t)$ を $1$ で割ります。

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 2 \sec^{2} (t) + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sec^{4} (t)$ を ${(\sec^{2} (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \sec^{2} (t) + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \sec^{2} (t) + 1^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 \sec^{2} (t) = 2 \cdot \sec^{2} (t) \cdot 1$

ステップ 2.2.4

多項式を書き換えます。

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \cdot \sec^{2} (t) \cdot 1 + 1^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.5

$a = \sec^{2} (t)$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int (\sec^{2} (t) - 1) \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 3

$u = \sec (t)$ とします。次に $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u = \sec (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\sec (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

ステップ 3.1.2

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$\sec (t) \tan (t)$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (u^{2} - 1) \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

ステップ 4

$(u^{2} - 1) \frac{\sqrt{3}}{3}$ を掛けます。

$\int u^{2} \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u^{2}$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} - 1 \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

ステップ 5.2

$- 1 \frac{\sqrt{3}}{3}$ を $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ に書き換えます。

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} d u + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

ステップ 7

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int u^{2} d u + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C) - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

ステップ 10.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

ステップ 10.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{9} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$u$ のすべての発生を $\sec (t)$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{9} \sec^{3} (t) - \frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t) + C$

ステップ 11.2

$t$ のすべての発生を $arcsec (\sqrt{3} x)$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{9} \sec^{3} (arcsec (\sqrt{3} x)) - \frac{\sqrt{3}}{3} \sec (arcsec (\sqrt{3} x)) + C$

微分積分 例

微分積分例