微分積分例

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

ステップ 1

分数を複数の分数に分割します。

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.1.2.3

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.1.2.4

式を書き換えます。

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.1.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

代入し簡約します。

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ステップ 7.1.1

$e$ および $1$ で $\frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

ステップ 7.1.2

$e$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 7.1.3

簡約します。

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ステップ 7.1.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 7.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 7.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 7.1.3.4

$- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{e^{2}}{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 7.1.3.5

$- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 7.1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 7.1.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{2} - 2 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{2}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{2}$

ステップ 7.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{2}$

ステップ 7.3.3

$e$ を $1$ で割ります。

$\frac{e^{2} - 2 \ln (e) - 1}{2}$

ステップ 7.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{e^{2} - 2 \cdot 1 - 1}{2}$

ステップ 7.3.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{2} - 2 - 1}{2}$

ステップ 7.3.6

$- 2$ から $1$ を引きます。

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

10進法形式：

$2.19452804 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例