微分積分例

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{3} - 3 x}{x^{2}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$x$ を $4 x^{3} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) - 3 x}{x^{2}} d x$

ステップ 1.1.2

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot - 3}{x^{2}} d x$

ステップ 1.1.3

$x$ を $x (4 x^{2}) + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x^{2}} d x$

ステップ 1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{2} - 3}{x} d x$

ステップ 2

$4 x^{2} - 3$ を $x$ で割ります。

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ステップ 2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$3$

ステップ 2.2

被除数 $4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$4 x$
	$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

ステップ 2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$4 x^{2}$	+	$0$

ステップ 2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$

ステップ 2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$

ステップ 2.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$3$

ステップ 2.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{3}{x} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

ステップ 4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x$

ステップ 8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 9

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

代入し簡約します。

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ステップ 11.1.1

$e$ および $1$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

ステップ 11.1.2

$e$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 11.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 11.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

分配則を当てはめます。

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 11.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 11.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 11.3.2.3

式を書き換えます。

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 11.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 11.3.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 11.3.3.3

共通因数を約分します。

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 11.3.3.4

式を書き換えます。

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 11.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 11.3.5

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

ステップ 11.3.6

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{1})$

ステップ 11.3.7

$e$ を $1$ で割ります。

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (e)$

ステップ 11.3.8

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 e^{2} - 2 - 3 \cdot 1$

ステップ 11.3.9

$- 3$ に $1$ をかけます。

$2 e^{2} - 2 - 3$

ステップ 11.3.10

$- 2$ から $3$ を引きます。

$2 e^{2} - 5$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 e^{2} - 5$

10進法形式：

$9.77811219 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例