微分積分例

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

ステップ 1

$24$ は $t$ に対して定数なので、 $24$ を積分の外に移動させます。

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

ステップ 2

$t$ を $2 t + 3$ で割ります。

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ステップ 2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 t$

$3$

$t$

$0$

ステップ 2.2

被除数 $t$ の最高次項を除数 $2 t$ の最高次項で割ります。

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

ステップ 2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

ステップ 2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $t + \frac{3}{2}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

ステップ 2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

ステップ 2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $t$ をまとめます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

ステップ 6

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

ステップ 7

$\frac{3}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

ステップ 8

$u = 2 t + 3$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = 2 t + 3$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$2 t + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $2 t + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 8.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ の値を求めます。

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ステップ 8.1.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 8.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 8.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 8.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 8.1.4.1

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 8.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 8.2

$u = 2 t + 3$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 3$

ステップ 8.3.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$u_{lower} = 3$

ステップ 8.4

$u = 2 t + 3$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

$2$ に $10$ をかけます。

$u_{upper} = 20 + 3$

ステップ 8.5.2

$20$ と $3$ をたし算します。

$u_{upper} = 23$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

ステップ 8.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

ステップ 9.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\ln (| u |)]_{3}^{23}$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

ステップ 13.2

$3$ を $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ の左に移動させます。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

ステップ 14

代入し簡約します。

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ステップ 14.1

$10$ および $0$ で $\frac{t}{2}$ の値を求めます。

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

ステップ 14.2

$23$ および $3$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3

簡約します。

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ステップ 14.3.1

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.1.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.1.2.3

式を書き換えます。

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.1.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.2

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.2.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.2.2.3

式を書き換えます。

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.4

$5$ と $0$ をたし算します。

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.5

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.6

$5$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

ステップ 14.3.7

公分母の分子をまとめます。

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

ステップ 14.3.8

$5$ に $4$ をかけます。

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

ステップ 14.3.9

$24$ と $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ をまとめます。

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

ステップ 14.3.10

$24$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.10.1

$4$ を $24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ で因数分解します。

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

ステップ 14.3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.10.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

ステップ 14.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

ステップ 14.3.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

ステップ 14.3.10.2.4

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ を $1$ で割ります。

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

ステップ 15

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $23$ の間の距離は $23$ です。

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

ステップ 16.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

ステップ 16.3

分配則を当てはめます。

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

ステップ 16.4

$6$ に $20$ をかけます。

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

ステップ 16.5

$- 3$ に $6$ をかけます。

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

10進法形式：

$83.33612530 \dots$

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例