微分積分例

$y = - \frac{y}{x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{y}{x})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{y}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2

$f (x) = y$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot 0$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$\frac{y}{x}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + 0$

ステップ 3.7.2

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{x y' - y}{x^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $x^{2}$ を掛けます。

$y' x^{2} = - \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3

式を書き換えます。

$y' x^{2} = - (x y' - y)$

ステップ 5.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y' x^{2} = - (x y') - - y$

ステップ 5.2.1.3

$- - y$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' x^{2} = - x y' + 1 y$

ステップ 5.2.1.3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y' x^{2} = - x y' + y$

ステップ 5.2.1.4

$x$ を移動させます。

$y' x^{2} = - 1 y' x + y$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

$- 1 y'$ を $- y'$ に書き換えます。

$y' x^{2} = - y' x + y$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺に $y' x$ を足します。

$y' x^{2} + y' x = y$

ステップ 5.3.3

$y' x$ を $y' x^{2} + y' x$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.1

$y' x$ を $y' x^{2}$ で因数分解します。

$y' x \cdot x + y' x = y$

ステップ 5.3.3.2

$y' x$ を $y' x$ で因数分解します。

$y' x \cdot x + y' x \cdot 1 = y$

ステップ 5.3.3.3

$y' x$ を $y' x \cdot x + y' x \cdot 1$ で因数分解します。

$y' x (x + 1) = y$

ステップ 5.3.4

$y' x (x + 1) = y$ の各項を $x (x + 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$y' x (x + 1) = y$ の各項を $x (x + 1)$ で割ります。

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

ステップ 5.3.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

ステップ 5.3.4.2.2

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

ステップ 5.3.4.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{x (x + 1)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (x + 1)}$

微分積分 例

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