微分積分例

$x^{7} {(5 + 8 x)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = {(5 + 8 x)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{7} \frac{d}{d x} [{(5 + 8 x)}^{3}] + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 5 + 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 + 8 x$ とします。

$x^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $5 + 8 x$ で置き換えます。

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $5 + 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [8 x]$ です。

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [8 x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [8 x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [8 x]$ をたし算します。

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.4

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.5

$8$ に $3$ をかけます。

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2} \cdot 1) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.7

$24$ に $1$ をかけます。

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.8

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + {(5 + 8 x)}^{3} (7 x^{6})$

ステップ 3.9

$7$ を ${(5 + 8 x)}^{3}$ の左に移動させます。

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + 7 \cdot {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ を $x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + 7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ を $x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2})$ で因数分解します。

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + 7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$

ステップ 4.1.2

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ を $7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$ で因数分解します。

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (7 (5 + 8 x))$

ステップ 4.1.3

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ を $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (7 (5 + 8 x))$ で因数分解します。

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24) + 7 (5 + 8 x))$

ステップ 4.2

$24$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (24 x + 7 (5 + 8 x))$

微分積分 例

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